Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线： 相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线： 相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且 ，求直线MN的方程；（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围．

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Answer 1

解：（1）半径r= =2，故圆O的方程为 x 2 +y 2 =4． （2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称， 故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数2， 设MN的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0． 由弦长公式可得， 圆心O到直线MN的距离等于 =1． 由点到直线的距离公式可得 1= ，b=± ， 故MN的方程为2x﹣y± =0． （3）圆O与x轴相交于A（﹣2，0）、B（2，0）两点， 圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列， ∴|PA||PB|=|PO| 2 =4． 由于∠APB的取值范围是[0，π]， ∴﹣|PA||PB|≤ ≤|PA||PB|，﹣4≤ ≤4， 即 的取值范围[﹣4，4]．