Question

设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明：（1）A-E，B-E都可逆；（2）AB=BA

设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明：（1）A-E，B-E都可逆；（2）AB=BA．

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

证明：
（1）因为（A-E）（B-E）=AB-（A+B）+E=E，
所以A-E，B-E都可逆．
（2）由（1）知

E＝(A?E)(B?E)    ＝(B?E)(A?E)    ＝BA?(A+B)+E

所以AB=A+B=BA

Answer 3

(1)A-E,B-E是n阶方阵,B-E
(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E
因此，A-E,B-E互为逆矩阵

（2）
根据（1）的结论有
（B-E)(A-E)=E
于是
BA=A+B
得证