Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，一条准线为l：x=4，若椭圆C与x轴交于A、B两点，P是椭圆

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，一条准线为l：x=4，若椭圆C与x轴交于A、B两点，P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA交直线l于点M，直线PB交直线l于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）求k1?k2的值；（3）求证：以MN为直线的圆过x轴上的定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

解答：（1）解：∵

c

a

＝

1

2

，

a2

c

＝4，解得a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）解：设P（x₀，y₀），∵A（-2，0），B（2，0），
∴k1＝

y0

x0+2

，k2＝

y0

x0?2

，
∴k1k2＝

y02

x02?4

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴

x02

4

+

y02

3

＝1，
∴y02＝

3

4

(4?x02)，
∴k1k2＝

3 4 (4?x02)

x02?4

=-

3

4

．
（3）证明：设M（4，y₁），N（4，y₂），
则k1＝kAM＝

y1

6

，k2＝kAN＝

y2

2

，
∴k₁k₂=

y1y2

12

，
又k1k2＝?

3

4

，∴

y1y2

12

＝?

3

4

，∴y₁y₂=-9，
∵MN的中点为Q（4，

y1+y2

2

），NM=|y₁-y₂|，
∴以MN为直径的圆方程为(x?4)2+(y?

y1+y2

2

)2=

(y1?y2)2

4

，
令y=0，得（x-4）²=-y₁y₂=9，
解得x=1或x=7，
∴以MN为直线的圆过x轴上的定点（7，0），（1，0）．