Question

底面半径为2，高为42的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四

底面半径为2，高为42的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．

Answer 1

（1）根据相似性可得：

2 2 x

2

=

4 2 ?h

4 2

，
解得：h=4

2

-2x，（其中0＜x＜2

2

）．
（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式：
y=2x²+4xh=2x²+4x（4

2

-2x）
=-6x²+16

2

x
=-6（x-

4

3

2

）²+

64

3

，
因为0＜x＜2

2

，
所以当x=

4

3

2

时，
y_max=

64

3

，
故当正四棱柱的底面边长为

4

3

2

时，此正四棱柱的表面积最大，为

64

3

．