Question

设数列{an}满足an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，bn=log3（an+1）（Ⅰ）证明：数列{an+1}为等比数列；

设数列{an}满足an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，bn=log3（an+1）（Ⅰ）证明：数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列{1bnbn+1}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：（1）证明：∵a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}为等比数列．
（2）解：∵数列{a_n+1}为等比数列，首项为3，公比为3．
∴an+1＝3n，即a_n=3ⁿ-1．
∴b_n=log₃（a_n+1）=log33n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

．

∴S_n=(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)
=1?

1

n+1

=

n

n+1

．