Question

如图，在等边△ABC中，∠BAC的平分线交y轴于点D，C点的坐标为（0，6）（1）如图1，求点D坐标．（2）如图2

如图，在等边△ABC中，∠BAC的平分线交y轴于点D，C点的坐标为（0，6）（1）如图1，求点D坐标．（2）如图2，E为x轴上任意一点，以CE为边，在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴于点G，求OG的长．（3）如图3，在（1）条件下，当一个含60°角的三角板绕B点旋转时，下列两个结论中：①DN-DM；②DN+DM其中有且只有一个是定值，请你判断哪一个结论成立并证明成立的结论．

Answer 1

（1）如图1，
∵△ABC为等边三角形，
而OC⊥AB，
∴OA=OB，∠ACO=30°，∠BAC=60°，
在Rt△ACO中，AO=

3

3

OC=

3

3

?6=2

3

，
∵AD为∠OAC的平分线，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

3

3

OD=

3

3

?2

3

=2，
∴D点坐标为（0，2）；
（2）如图2，作FG⊥BC于G，FH⊥x轴于H，
∵△EFC为等边三角形，
∴FC=FE，∠FCE=∠CFE=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠CBE=120°，
∴∠FCB+∠BEF=180°，
而∠FEH+∠BEF=180°，
∴∠FCB=∠FEH，
在△FCG和△FEH中，

∠FGC＝∠FHE ∠FCG＝∠FEH FC＝FE

，
∴△FCG≌△FEH（AAS），
∴FG=FH，
∴BF平分∠CBE，
∴∠FBE=

1

2

∠CBE=60°，
∴∠OBG=60°，
∵OB=OA=2

3

，
∴OG=

3

OB=

3

?2

3

=6；
（3）①正确．理由如下：
在DN上截取DP=DM，连接MP、DB，如图3，
∵DO垂直平分AB，
∴DA=DB=2OD=4，
∵∠DAO=30°，
∴∠ADO=60°，
∴∠MDP=60°，
而DM=DP，
∴△DMP为等边三角形，
∴DM=MP，∠DPM=∠60°，
∴∠MPN=120°，
∵∠MBN=60°，∠MDN=60°，
∴点M、D、B、N四点共圆，
∴∠MND=∠MBD，
在△MNP和△MBD中，

∠MNP＝∠MBD ∠MPN＝∠MDB MP＝MD

，
∴△MNP≌△MBD（AAS），
∴PN=BD=4，
∴DN-DP=4，
∴DN-DM=4．