Question

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，满足an-an-1+2an?an-1=0．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求数列{an

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，满足an-an-1+2an?an-1=0．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈N*都成立的实数m的取值范围．

Answer 1

解答：（I）证明：∵当n≥2时，满足a_n-a_n-1+2a_n?a_n-1=0．
∴

1

an

?

1

an?1

=2，
∴数列{

1

an

}是等差数列，首项为

1

a1

=1，公差d=2．
∴

1

an

＝1+2(n?1)=2n-1．
（II）解：b_n=

an

2n+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∴2T_n（2n+1）≤m（n²+3）化为2n≤m（n²+3），化为m≥

2n

n2+3

．
令f（n）=

2n

n2+3

=

2

n+ 3 n

，
函数g（x）=x+

3

x

（x＞0），g′（x）=1?

3

x2

=

x2?3

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞

3

，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜

3

，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

3

时，函数g（x）取得最小值．
∴当n=1，2时，f（n）单调递增；当n≥2时，f（n）单调递减．
∴当n=2时，f（n）取得最大值，∴m≥

4

7

．