Question

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，AB=DE=4，∠ACB=∠DFE=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，AB=DE=4，∠ACB=∠DFE=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE、EF分别交线段CA、BC于点M、N．（1）如图①，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，则线段AM与MC的数量关系是______；（2）如图②，求证：AM=MN+CN．

Answer 1

解答：解：（1）∵AC=BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=

1

2

ACB=45°，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∵DF=EF，∠DFE=90°，
∴∠FED=45°，
∴∠FED=

1

2

∠AEC，
又∵AE=CE，
∴AM=MC；                                   

（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，连接EH，
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
∵在△AHE与△CNE中：

AH＝CN ∠A＝∠NCE AE＝CE

，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN，
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF=90°-45°=45°，
∴∠HEM=∠NEM=45
∵在△HEM与△NEM中：

EH＝EN ∠HEM＝∠MEN ME＝ME

，
∴△HEM≌△NEM（SAS），
∴HM=MN，
∴AM=AH+HM=CN+MN；
即AM=MN+CN．