Question

设函数fx=xe^x,求极小值

Answer 1

求极大极小值往往是解导函数等于0的方程。
由于f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x，令f'(x)=0可以解得x=-1。
此时只知道-1是函数的一个驻点，不知道是极小值点还是极大值点。可以继续求二阶导。二阶导大于0则是极小值，小于0则是极大值。
f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x，f''(-1)=e^(-1)>0，因此-1确实是极小值点。
综上，f(x)有唯一的极小值点x=-1。

Answer 2

f(x)=xe^x
f'(x)=(1+x)e^x
(1+x)e^x=0
x=-1
f''(x)=(2+x)e^x
f''(-1)=e^(-1)>0
极小值=f(-1)=-1/e