Question

设关于x的函数f（x）=mx2-mx-6+m拜托各位大神

设关于x的函数f（x）=mx2-mx-6+m 1.若对于m属于【-2，2】 f（x）小于0恒成立 求实数x的取值范围 2.若对于x属于【1，3】f（x）小于0恒成立 求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）当m=0时显然满足条件。当m≠0时： ①当－2≤m＜0时，△=m-4m（－6＋m）=3m（8－m）＜0恒成立，即f（x）开口向下且与x轴无交点，满足f（x）＜0.。 ②当0＜m≤2时，△＞0，f（x）开口向上且与x轴有两个交点。此时要满足f（x）＜0，方程f（x）=0的两个解p=（m－√△）／2m和q=（m+√△）／2m，满足p＜x＜q，由于当0＜m≤2时，－3／4≤p＜0，q≥2，∴x＞－3／4，即x的取值范围是（－3／4，+∞） （2）当m=0时显然满足条件。当m≠0时，f（x）表示一条抛物线，对称轴为x=1/2。由于1/2＜1，故有： ①当m＜0时，f（x）在定义域内单调递减，要使f（x）＜0在定义域[1，3]内恒成立，只要f（1）＜0，而f（1）=－5＜0恒成立，∴m＜0时满足条件。 ②当m＞0时，f（x）在定义域内单调递增，要使f（x）＜0恒成立，只要f（3）＜0，解得m＜6／7，∴0＜m＜6/7。 综上所述，m的取值范围为（－∞，6/7）。

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