Question

关于线代极大无关组的问题

为什么将其化为行简化阶梯式后，非0行首个对应的就是极大无关组了？方法我都会，题目也会做，就想问问这是为什么

Answer 1

理解这个问题，要知道什么是线性无关。
线性无关的定义：k1a1+k2a2+...+ksas=0
如果当且仅当ki=0时，上式成立，那么a1,a2,...,as线性无关，即|a1，a2，...，as|≠0
就是说齐次线性方程组(a1，a2，...，as)X=0，只有零解。

下面我们看极大无关组。
我们选取每个阶梯处的向量，记为α1，α2，α3，...，αm，由于|α1，α2，α3，...，αm| ≠ 0
那么由α1，α2，α3，...，αm构成的齐次线性方程组（α1，α2，α3，...，αm）x=0，
必然只有零解。

【评注】
向量组线性无关说明齐次线性方程组Ax=0只有零解，向量组的秩是满秩。
向量组线性相关说明齐次线性方程组Ax=0有非零解。
一个向量组可由一组向量线性表示，说明非齐次线性方程组Ax=β有解。

向量的线性表示问题，往往通过方程组有无解来判断。

学好线性代数对于基本概念，基本定义要求很高。
线性表示问题，方程组问题（Ax=0，Ax=b），特征值问题（（λE-A）x=0），行列式问题（系数矩阵|A|是否为0，r(A)=?），等等都是可以想换转化的。
往往一个问题可以从多个角度分析考虑，解答方法技巧就呼之欲出。

newmanhero 2015年5月22日00:37:26

希望对你有所帮助，望采纳。