三重积分∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω由z=根号下x^2+y^2和z=根号下2-x^2-y^2围成
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解：∫∫∫<Ω>z^2dxdydz=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<r,√(2-r^2)>z^2dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr
=(2π/3)[∫<0,1>(2-r^2)^(3/2)rdr-∫<0,1>r^4dr]
=(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5]
=4(√2-1)/15。
=2π∫<0,1>(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr
=(2π/3)[∫<0,1>(2-r^2)^(3/2)rdr-∫<0,1>r^4dr]
=(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5]
=4(√2-1)/15。
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