Question

关于高等数学求极限的问题

lim根号(4x^2-1)/(2x+1)(x－﹥∞),我是把 根号(4x^2-1)变成 根号(2x+1)*根号(2x-1); 把2x+1变成 根号(2x+1)*根号(2x+1)，然后约去 根号(2x+1),求得答案为1。
但是标准答案是极限不存在，求大神帮忙解答。应该怎么做？

Answer 1

解答：
这种题目以后再次碰到不要去计算，用眼睛观察一眼得出极限为∞
我试了你的方法，约掉根号2x+1最后结果也得不到1啊，这里的x是趋近于∞，不是趋近于0

我告诉你以后这种题目如何用肉眼观察，这也是教材上的方法！
形如：
lim(x→∞)[a0x^m+a1x^(m-1)+a2x^(m-2)+……+amx^1]/[b0x^n+b1x^(n-1)+b2x^(n-2)+……+bmx^1)（其中a0、a1、……、am和b0、b1、……、bm均为系数）
这样的极限形式有三种情况：
①当m>n时，极限为∞
②当m<n时，极限为0
③当m=n时，极限为a0/b0
显然你这道题属于第一种情况，分子的最高次数是2，分母的最高次数是1，2>1，因此极限为无穷大。

所以呢，如果以后碰到这种题目，只需要观察分子的最高次数和分母的最高次数的大小就可以了！

Answer 2

实际上用洛必达法则是可以判定这极限是不存在的，直接使用就可以了。
请注意数学求极限的过程是严格的，不是想当然的，似是非是的。

追问

我后来用几何画板画出函数图像发现：当x趋向正无穷的时候是1，但是当x趋向负无穷的时候是 -1, 是不是∞应该要包括+∞和-∞两种情况？如果两种情况极限值不相等是不是就说明趋向∞时极限不存在？
还有就是使用洛必达法则后发现出现了死循环，就是用两次后有回到了原题这种形式，就永远也求不出极限了，这可以说明极限不存在吗？

追答

对，趋向无限包括正负两种情况，实际上使用洛必达法则可能出现死循环，极限不存在和极限存在的三种情况，有很多论文系统深刻地探讨过这种问题，不清楚或有兴趣可以去看看研究，死循环其实就可以反映出结果了。

Answer 3

答案错了吧，上下同时除以x结果就出来了呀，是1

追问

我后来用几何画板画出函数图像发现当x趋向正无穷的时候是1，但是当x趋向负无穷的时候是 -1，虽然这种办法比较笨，但是的确出现了两个不同的值，但这个 -1是怎么求的？