Question

数学分析连续性聚点

多元函数我看他定义是在聚点的基础上的。求极限也是定义在聚点上，比如我们f(x,y)=x+y 只定义在有理数Q^2上,比如趋于(1,1)。显然这是聚点，那么极限就是2?这点函数值也是2，那就是连续？连续到底怎么定义的？
还有就是有一些求多元函数极限的问题，有没有固顶的方法看出来极限不存在？原来以为只要考察y=xk就行了，后来发现不行。因为要以任意方式趋近，但是问题是，如果存在，你怎么说明这个任意方式？

Answer 1

聚点和极限怎么会一样呢。别说多维函数了，你一维函数的聚点和极限的概念都没搞懂啊……极限未必是聚点，聚点未必是极限。自己翻定义吧，epsilon-delta那一种。我这里说也不会比定义更严密。

任意方式就是任意方式。比如你的例子，f=x+y在(1,1)，对任意epsilon，取delta=epsilon/2，如果(x,y)属于[1-delta,1+delta]X[1-delta,1+delta]，那么f=x+y属于[1-2delta,1+2delta]，包含于[2-epsilon, 2+epsilon]。因此函数在(1,1)点极限存在，值为2。

追问

不是。。。多元函数极限定义是这样的：定义域为D的函数，对于点P的极限，首先要求是P是D聚点，（聚点的话就可以是离散的内种，不是紧密的，比如我只定义在有理数Q上）。然后再是epsilon-delta内个。epsilon-delta内块很好理解。我就是比较关心，离散的到底行不行。。

不是。。。多元函数极限定义是这样的：定义域为D的函数，对于点P的极限，首先要求是P是D聚点，（聚点的话就可以是离散的内种，不是紧密的，比如我只定义在有理数Q上）。然后再是epsilon-delta内个。epsilon-delta内块很好理解。我就是比较关心，离散的到底行不行。。

追答

我明白了。不好意思前面理解有误。
我不太清楚你们用的书上怎么写的。一般的理解，要求lim_{x->P}f(x)，P不一定需要是聚点。比如D=Z^2（整数网格）的离散情形，也是可以定义lim_{x->(1,1)}f(x)的。所以一个很常见的真命题是：定义域是离散集合，那么函数必定连续。
你对于离散的概念有误。离散集有几种定义，但就我所知无论哪种定义，有理数集Q都不是离散的。一种定义是，对于任何元素x，存在d(x)，使得以x为中心半径为d的球中没有其他元素。也就是说任何元素都不是聚点。有理数集显然不满足。
（注：离散和连续是相对的概念，但不是互为补集的概念。有离散集合，连续集，你把两者拼一拼就可以得到一个又不离散又不连续的集合。Q不是连续的不代表他是离散的。）
（注2：更一般或者说更系统的函数连续的定义用的是点集拓扑方面的术语，如果你不是数学专业的那么这个对你没什么意义，但是如果你能够搞明白这些那么你对于什么是连续的理解会深刻一些）

Answer 2

在设拓扑空间(X，τ)，A⊆X，x∈X。若x的每个邻域都含有A \ {x}中的点，则称x为A的聚点。
在数学分析中坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集。给定点集E ，对于任意给定的δ〉0 ，点P 的δ去心邻域内，总有E 中点，则称为P 是 E的聚点（或叫作极限点）。
聚点可以是E中的点，也可以不属于E。此聚点要么是内点，要么是边界点。内点是聚点，界点是聚点，孤立点不是聚点。对于有限点集是不存在聚点的。聚点必须相对给定的集合而言，离开了点集E，聚点就没有意义。
在复分析中点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
以聚点为圆心，任意大的半径大ε>0画一圆，总有无穷多个点汇聚在该圆内。若聚点是唯一的，则聚点就是极限点。