Question

多元复合函数求导，二阶导怎么求出来的，尤其是第二张图片黄字部分

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Answer 1

(1)问的黄字应该没什么问题,
就是代入x = r·cos(θ), y = r·sin(θ).
(2)问求u对x的二阶偏导, 也就是求∂u/∂x对x的一阶偏导.
所以借助(1)问已经得到的结果, 用∂u/∂x替代其中的u, 就得到了第一个等号.
再利用一次(1)问的结果, 将∂u/∂x用对r和θ的偏导表示, 就得到了第二个等号.
之后自变量就只有r和θ了, 照常计算偏导即可.

追问

对x的偏导数怎么转变成对r和θ的偏导数，我知道好像是把第一问的结论带回去但是具体怎么做的能写一下吗？？还有对r和θ的求导过程我也不是很清楚

追答

第一问的结果就是将∂u/∂x用∂u/∂r和∂u/∂θ表示啊.
具体来说有∂u/∂x = ∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r ①,
左端是∂u/∂x, 而右端只含∂u/∂r和∂u/∂θ两种偏导.

把①中的所有u都用∂u/∂x替代, 就得到:
∂²u/∂x² = ∂/∂r(∂u/∂x)·cos(θ)-∂/∂θ(∂u/∂x)·sin(θ)/r,
也就是第一个等号.
再由①, 可以把右端的∂u/∂x都换成∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r得:
∂²u/∂x² = ∂/∂r(∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r)·cos(θ)
-∂/∂θ(∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r)·sin(θ)/r,
也就是第二个等号.

需要分别展开两处偏导,
以∂/∂r(∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r)为例,
即∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r对r求偏导.
由偏导的线性性, 可以拆成两项的偏导之差,
即∂/∂r(∂u/∂r·cos(θ))-∂/∂r(∂u/∂θ·sin(θ)/r).
对于∂/∂r(∂u/∂r·cos(θ)), 由Leibniz法则,
∂/∂r(∂u/∂r·cos(θ)) = ∂/∂r(∂u/∂r)·cos(θ)+∂u/∂r·∂/∂r(cos(θ))
= ∂²u/∂r²·cos(θ)+∂u/∂r·0
= ∂²u/∂r².
对于∂/∂r(∂u/∂θ·sin(θ)/r), 同样由Leibniz法则,
∂/∂r(∂u/∂θ·sin(θ)/r) = ∂/∂r(∂u/∂θ)·sin(θ)/r+∂u/∂θ·∂/∂r(sin(θ)/r)
= ∂²u/(∂r∂θ)·sin(θ)/r-∂u/∂θ·sin(θ)/r².

另一个∂/∂θ(∂u/∂r·cos(θ)-∂u/∂θ·sin(θ)/r)请自行计算,
这样可以加深印象.

追问

太感谢了！！！解出来了！！！！打了这么多字辛苦了！！！

能在问一道差不多的题吗

能在问一道差不多的题吗

方框部分是怎么来的，为什么对r求偏导数啊？？不是求u对x的二阶偏导数吗？？

追答

上面算出来∂u/∂x = -x/r³.
因此∂²u/∂x² = ∂/∂x(-x/r³) = -1/r³-x·∂/∂x(1/r³).
注意r不是与x独立的变量, 所以要使用链式法则:
∂/∂x(1/r³) = -3/r⁴·∂r/∂x.

追问

明白了，非常感谢！！