Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=(x-a)^2+(lnx-a)^2.若g'(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围

答案是a>=-2
没有过程，求大神解答

Answer 1

g(x)=(x-a)²+（lnx-a)²
g'(x) = 2(x-a)+2(lnx-a)/x
g″(x) = 2+2{1 - lnx + a}/x² = 2{x²-lnx+a+1}/x²

令h(x)=x²-lnx+a+1
h′(x) = 2x-1/x = (2x²-1)/x=(√2x+1)(√2x-1)/x
可见x＞√2/2时，h(x)单调增

在区间[1，+∞）,x=1时，h(x)取最小值
h(1)=1-ln1+a+1,≥0
a≥-2

即a≥-2时，在区间[1，+∞)上g″(x) ≥0，g'(x) 单调增