设f(x)=a/x+ x㏑x,g(x)=x^3-x^2-3.
如果存在X1,X2∈【0,2】,使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M。如果对任意的s,t∈【1/2,2】,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的...
如果存在X1,X2∈【0,2】,使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M。 如果对任意的s,t∈【1/2,2】,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围。
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第一问:
g(x)的导函数3x^2-2x,在[0,2/3]上小于等于0,(2/3,2]上大于0
因此g(x)在2/3时取极小值-85/27,而显然g(2)=1>-3=g(0)是极大值
g(2)-g(2/3)略大于4,M=4
第二问:
即令f(x)在[1/2,2]上的极小值大于1=g(2)
(1)如果0≥a,f(x)是单调递增的,只需:
f(1/2)=2a-(1/2)*ln2≥1,解得a≥(1/2)((1/2)*ln2+1)>0,矛盾
(2)于是必须a>0,对f(x)求导,导函数为:
-a/x^2+lnx+1,是个单调递增函数,x=1/2时,它等于1-ln2-4a,
i)若此式非负,则f(x)是单调递增的,
即联立1-ln2-4a≥0与a≥(1/2)((1/2)*ln2+1)
两式矛盾,得不出符合题意的a
ii)此式为负时,a>(1-ln2)/4
又分两情况:
a)x=2时,若0≥-a/x^2+lnx+1=1+ln2-a/4,即a≥4(1+ln2)
则f(2)是极小值,令2ln2+a/2≥1,
联立求得a≥4(1+ln2)符合题意
b)若(1-ln2)/4<a<4(1+ln2),则f(x)在方程-a/x^2+lnx+1=0的解x=x0上取极小值,
解a/x0+x0lnx0≥1,联立(1-ln2)/4<a<4(1+ln2),求得一符合题意区间(方程俺不会解),再与a≥4(1+ln2)求并集,就是最终答案
写了半天,还是有个方程不会解,郁闷...
看了楼上知道俺是如何舍近求远了!杯具!!
g(x)的导函数3x^2-2x,在[0,2/3]上小于等于0,(2/3,2]上大于0
因此g(x)在2/3时取极小值-85/27,而显然g(2)=1>-3=g(0)是极大值
g(2)-g(2/3)略大于4,M=4
第二问:
即令f(x)在[1/2,2]上的极小值大于1=g(2)
(1)如果0≥a,f(x)是单调递增的,只需:
f(1/2)=2a-(1/2)*ln2≥1,解得a≥(1/2)((1/2)*ln2+1)>0,矛盾
(2)于是必须a>0,对f(x)求导,导函数为:
-a/x^2+lnx+1,是个单调递增函数,x=1/2时,它等于1-ln2-4a,
i)若此式非负,则f(x)是单调递增的,
即联立1-ln2-4a≥0与a≥(1/2)((1/2)*ln2+1)
两式矛盾,得不出符合题意的a
ii)此式为负时,a>(1-ln2)/4
又分两情况:
a)x=2时,若0≥-a/x^2+lnx+1=1+ln2-a/4,即a≥4(1+ln2)
则f(2)是极小值,令2ln2+a/2≥1,
联立求得a≥4(1+ln2)符合题意
b)若(1-ln2)/4<a<4(1+ln2),则f(x)在方程-a/x^2+lnx+1=0的解x=x0上取极小值,
解a/x0+x0lnx0≥1,联立(1-ln2)/4<a<4(1+ln2),求得一符合题意区间(方程俺不会解),再与a≥4(1+ln2)求并集,就是最终答案
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最大整数M应为“g(x)的最小值-g(x)的最大值”吧?算出来是-5.(因为要M<=g(x1)-g(x2)的最小值)
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