线性代数 a的秩为n,则aTa的秩也为n,这是为何??
解:
当矩阵a是n阶且秩为n时,|a|不等于0,|aT|=|a|也不等于0,|aTa|=|a||Ta|不等于0,所以aTa为满秩矩阵,其秩必为n。
若A的秩为n-1,则|A|=0,于是AA*=|A|E=0,这说明A*的列都是Ax=0的解。
因为A的秩为n-1,所以Ax=0的基础解系只有一个解向量.所以A*的列向量都可由这一基础解系来线性表示,故A*的秩不超过1,但A*有非零元,所以A*的秩大于或等于1,所以A*的秩只能等于1。
扩展资料
举例
高等代数,线性代数矩阵A(n×n)的秩为1.那么他的特征值等于:
分析:
因为A的秩等于1,所以A的行向量中有一行非零(记为α,不妨记为列向量),且其余行都是它的倍数.将这些倍数构成列向量β,β≠0
则有A=βα^T.
如:A=
246
123
000
则α=(1,2,3)^T,β=(2,1,0)^T,A=βα^T。
注意到α^Tβ是两个向量的内积,是一个数(上例中等于4)
所以有Aβ=(βα^T)β=(α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量。
再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量。
综上知 0 是A的 n-1 重特征值。tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ。
2024-10-13 广告
证明
(1)证明Ax的解是ATAx的解很容易证明
(2)若有AtAx=0 左乘xT得XT(ATAX)=0,
若设Ax={b1.b2.....}
可得 (AX)TAX=b12+b22+……=0故b1 b2...为0 所以是a的解
当矩阵a是n阶且秩为n时,|a|不等于0,|aT|=|a|也不等于0,|aTa|=|a||Ta|不等于0,所以
aTa为满秩矩阵,其秩必为n
《线性代数》包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化,二次型及应用问题等内容。