Question

高等数学 定积分求解

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Answer 1

1.  ∫<1, e> (lnx)^3dx = [x(lnx)^3]<1, e> - 3∫<1, e> (lnx)^2dx

   = e -  3[x(lnx)^2]<1, e> + 6∫<1, e> lnxdx

   = e -  3e + 6 [xlnx]<1, e> - 6∫<1, e> dx

   = e -  3e + 6e - 6(e-1) = 6-2e
   

2.  I = ∫<0, π/2> x^2cos2xdx =  (1/2)∫<0, π/2> x^2dsin2x

   =  (1/2)[x^2sin2x]<0, π/2> - ∫<0, π/2> xsin2xdx

   =  0 +(1/2) ∫<0, π/2> xdcos2x

   =  (1/2) [xcos2x]<0, π/2> - (1/2) ∫<0, π/2> cos2xdx

   =  -π/4 - (1/4) [sin2x]<0, π/2>  = -π/4 - 0 = -π/4
   

Answer 2

第一题可以用分部积分法
原式=x(lnx)³-3∫(lnx)²dx=x(lnx)³-3[x(lnx)²-2∫lnxdx]
=x(lnx)³-3[x(lnx)²-2(xlnx-∫dx)]
=x(lnx)³-3x(lnx)²+6xlnx-6x+C
最后的结果是6-2e
第二题也可以用同样方法
原式=(x²sin2x)/2-∫xsin2xdx=(x²sin2x)/2-[(-xcos2x)/2+∫cos2xdx]
=(x²sin2x)/2+(xcos2x)/2-(sin2x)/2+C
最后结果是-π/4