Question

已知函数fx=3x2-6x-5 （1） 求fx在【0,3】上的最大值

（2）设gx=fx-2x2+mx，其中m∈R， 求gx在区间【1,3】上的最小值

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Answer 1

解：
(1)
f(x) = 3x^2 - 6x -5 = 3( x^2 -2x + 1 ) - 8 = 3(x-1)^2 - 8
故 x = 1 时， f(x) 有极小值 f(1) = - 8
又 f(0) = -5 , f(3) = 4
故 在 [ 0 , 3 ] 上 f(x) 有最小值 f(1) = -8
(2)
g(x) = f(x) -2x^+ mx
= (3x^2 - 6x -5) -2x^+ mx
= x^2 + (6-m)x - 5
= [x - (6-m)/2 ]^2 - [(6-m)/2 ]^2 - 5

故 x = (6-m)/2 时， g(x) 有极小值 g[ (6-m)/2 ] = - [(6-m)/2 ]^2 - 5
又 g(1) = 2- m , g(3) = 22 - 3m
g(3) - g(1) = (22 - 3m ) - (2- m) = 2(10 - m)
i ) 当 1 ≤ (6-m)/2 ≤ 3 、 即 0 ≤ m ≤ 4 时，显然
g(x) 在 [ 1 , 3 ] 上 g(x) 有最小值 g[ (6-m)/2 ] = - [(6-m)/2 ]^2 - 5

ii ) 当 (6-m)/2 < 1 、 即 m > 4 时，
a. 4 < m ≤ 10 时， 显然 g(x) 在 [ 1 , 3 ] 上 g(x) 有最小值 g(1) = 2- m
b. m > 10 时， 显然 g(x) 在 [ 1 , 3 ] 上 g(x) 有最小值 g(3) = 22 - 3m

iii ) 当 (6-m)/2 > 3 、 即 m > 0 时，
a. 0 < m ≤ 10 时， 显然 g(x) 在 [ 1 , 3 ] 上 g(x) 有最小值 g(1) = 2- m
b. m > 10 时， 显然 g(x) 在 [ 1 , 3 ] 上 g(x) 有最小值 g(3) = 22 - 3m

f(3) = 22 - 3m

显然
在 [ 1 , 3 ] 上 f(x) 有最小值 f[ (6-m)/2 ] = - [(6-m)/2 ]^2 - 5