Question

高中数学排列组合问题，高手请进~~~

将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中
（1)若箱子不空,有多少种放法？
（2）若允许有空箱，有多少种放法？
应该怎么分析啊？？？
答案是（1）20种 (2)120种

请各位达人帮帮忙~~~告诉我详细原因，多谢各位啦~~~(*^__^*)

Answer 1

设x1,x2,x3,x4是4个箱子放的球的个数
x1+x2+x3+x4=7
第一问求的是所有正整数解个数
第二问求的是所有非负整数解个数

根据插空法
第一问答案为C（6,3）
第二问答案为C（10,3）
好像答案就是这样的

如果你不懂怎么解的可以再问我

Answer 2

（1）相当于求x+y+z+w=7的正整数解 用插缝法
C36=20种（7个球6个缝）
（2）相当于求x+y+z+w=7的非负整数解
转化为求求x¹+y¹+z¹+w¹=11的正整数解
同理即有C310=120
奖励我吧

Answer 3

2答案为：4的7次方。允许有空，则每个球都有四种选法。

4
1答案为：A7 * 4的三次方。 每个箱子都需要有球，则先拿出四颗随意分别放入四个箱子中，剩余的三颗球则在四个箱子中随意放

Answer 4

(1)
用插棍法。7个球如下，4个箱子由3根棍子分开
例：O | O | O O | O O O
因为箱子不空，所以棍子一共有7-1=6个位置可以插。
C(3,6)=6*5*4/(3*2*1)=20（种）
(2)
还是用插棍法
因为允许有空箱子，所以每根棍子和每个箱子各占一个位置。
例：O | O O O || O O O
则：箱子加棍子一共有10个位置，棍子从中任选3个。
C(3,10)=10*9*8/(3*2*1)=120（种）
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插棍法是排列组合问题的一种很重要的技巧性方法，上述两个问题刚好含盖了插棍法的2种类型。
插棍法是把排列组合问题转化为球和棍子的问题。
两棍之间球的个数就是箱子内球的个数，所以棍子数是箱子数减1。
棍子占不占位置的关键就在于能否空箱，能就占位，不能就不占位。
除了往箱子放小球外，一般还有一类问题也是这么做的：
x和y为正整数，x+y=10,求解的组数。
10就相当于10个小球，x和y相当于两个箱子。用哪种插棍法的关键就在于x和y是自然数还是正整数。
其他的用插棍法的题目一般都会和上述的两种题目类似的了。
一定要掌握啊！！！