Question

高中数学函数，求大神帮我解出第三问就行了谢谢！在线等满意必采纳~

Answer 1

（1）f'(x)=1/x-1，令f'(x)=0，得x=1，又当x∈(0，1）时，f'(x)＞0，x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，所以，f（1）为极大值=0.
（2）f(x)-2x=lnx-ax+1≤2x，a≥(lnx+1-2x)/x，令g(x)=(lnx+1-2x)/x，则g'(x)=-lnx/(x^2)
令g'(x)=-lnx/(x^2)=0，则x=1，又x∈(0，1)时，g'(x)＞0，x∈(1，+∞)时，,g'(x)＜0，
g(x)[max]=g(1)=(ln1+1-2)/1=-1，所以a≥-1.
（3）h(x)=lnx-ax+ax+1=lnx+1，只需证(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＞√x1x2
只需证√(x1/x2)-√(x2/x1)＞ln(x1/x2)，令x1/x2=u，
问题可化为：√u-√(1/u)＞lnu，
只需证√u-√(1/u)-lnu＞0，在u∈(1，+∞)上恒成立，
令F(u)=√u-√(1/u)-lnu，则F'(u)=1/2*[1/(√u)+1/√(u^3)-1/u]，得F'(u)＞0，
假设取到u=1，则F（1）=0，可知F(u)＞0，对于任意u∈(1，+∞)恒成立，命题得证！

Answer 2

h(x1)-h(x2)=lnx1-lnx2=ln(x1/x2）
原式=(x1-x2)/ln(x1/x2)>(x1x2)^(1/2)
两边除以x2,有=(x1/x2-1)/ln(x1/x2)>(x1/x2)^(1/2)
设(x1/x2)^(1/2)=t,且t>1
只需(t^2-1)/2lnt>t,都挪到一边,设g(t)=2tlnt-t^2+1
求导g`(t)=2(lnt-t+1)<=0,g(t)递减，t=1时最大值=0
所以g(t)<0,原式得证