Question

数学必修一

某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t-8）（ x≥8，t≥0），Q=500
40−(x−8)2
（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

Answer 1

解：（1）依题设有
1000（x+t-8）=500
40−(x−8)2
，
化简得5x2+（8t-80）x+（4t2-64t+280）=0．
当判别式△=800-16t2≥0时，
可得x=8-
4
5
t±
2
5
50−t2
．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①

0≤t≤
50

8≤8−
4
5
t+
2
5
50−t2
≤14

②

0≤t≤
50

8≤8−
4
5
t−
2
5
50−t2
≤14

解不等式组①，得0≤t≤
10
，不等式组②无解．故所求的函数关系式为x＝8−
4
5
t+
2
5
50−t2

函数的定义域为[0，
10
]．
（2）为使x≤10，应有
8−
4
5
t+
2
5
50−t2
≤10
化简得t2+4t-5≥0．
解得t≥1或t≤-5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．