Question

高等代数这两题计算题怎么写求给个过程，谢谢哈！！

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Answer 1

第1题

（1）二次型矩阵A=

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

（2）

|λI-A|=

λ -1 0 0

-1 λ 0 0

0 0 λ -1

0 0 -1 λ

按照第1行展开，或者使用分块矩阵的方法求行列式，得到

=(λ²-1)²

令其等于0，解得λ=1（两重特征值）或-1（两重特征值）

将特征值λ=1，代入特征矩阵，解相应的线性方程组（I-A）X=0，得到基础解系

(1 1 0 0)T (0 0 1 1)T

将特征值λ=-1，代入特征矩阵，解相应的线性方程组（-I-A）X=0，得到基础解系

(1 -1 0 0)T (0 0 1 -1)T

因此得到线性无关的特征向量

(1 1 0 0)T , (0 0 1 1)T , (1 -1 0 0)T , (0 0 1 -1)T

（3）

显然(1 1 0 0)T , (0 0 1 1)T , (1 -1 0 0)T , (0 0 1 -1)T

这4个特征向量，之间都是正交的，

下面将其全部单位化，得到

(1/√2 1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 1/√2)T , (1/√2 -1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 -1/√2)T

显然矩阵P=（(1/√2 1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 1/√2)T , (1/√2 -1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 -1/√2)T），是正交矩阵，且可以使得

P⁻¹AP=Λ=diag(1,1,-1,-1)

因此令T=P，可使得作正交线性替换X=TY，使得二次型化成标准型

y1²+y2²-y3²-y4²

第四大题

设过渡矩阵为P，则可以使用初等行变换来求：

1    2    1    1    2    2    

0    1    1    2    2    -1    

1    0    1    -1    -1    -1    

第3行, 加上第1行×-1

1    2    1    1    2    2    

0    1    1    2    2    -1    

0    -2    0    -2    -3    -3    

第1行,第3行, 加上第2行×-2,2

1    0    -1    -3    -2    4    

0    1    1    2    2    -1    

0    0    2    2    1    -5    

第1行,第2行, 加上第3行×1/2,-1/2

1    0    0    -2    -3/2    3/2    

0    1    0    1    3/2    3/2    

0    0    2    2    1    -5    

第3行, 提取公因子2

1    0    0    -2    -3/2    3/2    

0    1    0    1    3/2    3/2    

0    0    1    1    1/2    -5/2    

得到矩阵P

-2    -3/2    3/2    

1    3/2    3/2    

1    1/2    -5/2    

Answer 2

是|λE-A|=0 你写错了 不是|λA-E|=0