Question

这里的线性代数题目有会做的吗？求过程，我看不懂

Answer 1

第1题
AAT=E
则A是正交矩阵，特征值只能是1或-1
那么A+E的特征值只能是1+1=2或-1+1=0
由于有n个特征值，则
|A+E|=这n个特征值的乘积
=0或2^n

第2题
B=AP(i,j)
其中P(i,j)表示第i，j列对换相应的初等矩阵
则
|B|=|A||P(i,j)|
=-|A|

由于A可逆，则|A|不为0，从而|B|=-|A|不为0
即B可逆

AB^-1=A(AP(i,j))^-1=AP(i,j)^-1A^-1=AP(i,j)A^-1

第4题
aij=Aij
则伴随矩阵A*=AT
而AA*=|A|E
则AAT=|A|E
两边取行列式，得到
|A||AT|=|A|^4
即|A|^2=|A|^4
因此|A|=0,1,或-1
但注意到，由于|A|=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14
=a11^2+a12^2+a13^2+a14^2
aij不为0，则上式大于0
因此|A|>0
从而|A|=1