Question

求助几道初中数学初三竞赛的题目[望有详细解答过程]

1.已知在梯形ABCD中,AD平行BC,AD:BC=1:2,M在AB边上,AM:MB=3:2,N在CD上,使线段MN把梯形分成两个部分面积之比为3:1,求CN:ND?

2.若关于X的方程,ax^2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解,且a为整数,求a的值?

3.有50位学生,男女各半,围坐一圈,是否存在一种座位的安排方法使得每一为学生左右两侧的学生均为异性学生?请说明你所得结论的理由.

望有详细的解答过程!谢谢

Answer 1

第1题:
设CN:ND=x:1,AB=a,CD=b
先连接DM,AN,CM,BN,过M点做MH垂直AD于H,MK垂直BC于K,过N点做NL垂直AD于L,NP垂直BC于P.
将AMND的面积看成ADM+ADN,BMNC的面积看成BCM+BCN
因为AM:MB=3:2,可得MH:MK=3:2
两个部分面积之比为3:1,即(ADN+ADM):(BCN+BCM)=3:1
化简后为3a=(2x-2)b
因为题目中没有说明该梯形是什么样的,所以只能列出关系
知道a,b就可以算x了,如:等腰梯形的话,x=2.5
第2题：ax^2+2(a-3)x+(a-2)=0的解为x1={-2（a-3）+ sqrt[4(a-3)^2-4a(a-2）]}/2a,x2={-2（a-3）-sqrt[4(a-3)^2-4a(a-2）]}/2a
说明:sqrt()表示开根号
化简后:x1=[-(a-3)+sqrt(9-4a)]/a,x2=[-(a-3)-sqrt(9-4a)]/a.
要想有整数解,必须满足:sqrt(9-4a)是整数且a不等于0
所以只有a=2代入x1和x2中满足条件,所以a=2
第3题:学生围坐一圈可认为是个圆,这样的话,只要男女轮流这么坐下去就是了.如:先男后女或先女后男!
因为人数是偶数,所以除2没有余数可以满足这样的坐法.
如果人数是奇数就不行了!
其实是一个序列的问题,这里没有说有多少种坐法,就不去算了!