Question

高数积分问题 1.为什么求定积分图像上反映出来是导函数图像与积分限所围成的面积，而反映在积分曲线

高数积分问题

1.为什么求定积分图像上反映出来是导函数图像与积分限所围成的面积，而反映在积分曲线（也就是原函数图像）上是积分限所定区间上函数值的增量？一个是面积，一个是纵轴增量，微积分可以改变维度吗？
2.微积分是否是另一类计算法则，就像四则运算一样？
3.求一点的积分以几何意义代表什么？该点原函数值？可是原函数是函数族，该点函数值要+C的啊……
4.变上限积分的函数和这个函数的导数该怎么理解？脱离几何模型我就很难理解这种抽象的模型，有什么好办法吗？
5.感觉积分好难呀，肿么办……定积分这就好多例题都看不懂了，还怎么学555……求大神指导！

Answer 1

1、定积分图像上反映出来是导函数图像与积分限所围成的面积，反映在原函数图像上是积分限所定区间上函数值的增量，这两个理解都是正确的，但是不存在你说的改变维度的问题，因为这两种解释并不是在同一个坐标系下描述的，一个在导函数坐标系，一个在原函数坐标系。举个物理实例就清晰了：速度的定积分是位移，”导函数图像与积分限所围成的面积“是在速度-时间坐标系下的，”函数值的增量“是在位移-时间坐标系下的，所以不能单从几何上来看一个是面积一个是距离，而应该从物理意义来看，速度与时间的面积（乘积）即为位移，和位移增量是统一的。
2、应该说积分、微分运算是一种运算法则，微积分却不只是积分+微分，而是一个完整的理论系统。
3、不知你描述的”求一点的积分“是何意？若是不定积分，则不存在某点的说法，若是求定积分，那就表现为积分上下限相等，定积分值为0。
4、你把积分和求导当成逆运算就很好理解了，f(x)进行变上限积分后求导，还是f(x)的表达式，类比为x乘以N后除以N，结果还是x。
5、你说”积分好难“不知此处”积分“何意，单从解题上面来说，我觉得微积分问题分两类，第一类是计算，极限、不定积分、定积分等，这个类似于小学的四则运算方法，重在技巧，所以需要多接触题型，掌握常见的技巧；第二类，分析实际问题，求面积、体积、质心、转动惯量之类，这也是微积分的精髓所在，它最终将用以解决实际物理问题，类似于小学的应用题。对这类问题，不要畏惧，不要盲目套公式，主要还是划分微元然后使用之前学过的基本知识进行建模。

追问

感觉积分比微分难了不止百倍……如果是为了考研，如何复习高数您有心得吗？谢谢！

追答

不好意思，我没考过研，所以没经验啊

追问

还有一个问题，周期函数那个划线那步导数为0是怎么推出与a无关的结论？后面那个£（a)=£(0)是怎么得出来的？几何上是什么表达？£不是积分上限函数吗？怎么可以用积分下限函数做比较呢？谢谢啦！

主要就是这个不明白，这个求完是啥意思？几何上有什么意义？