Question

线性微分方程的结构和性质有哪些

Answer 1

结构：

在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。

性质：

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：  ，其解为：  ，其中C是待定常数；

如果知道  ，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1，

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：  ，然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程： 可知其通解： 

其特征方程： 

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为：若  ，则有

若  ，则有 

在共轭复数根的情况下：  。

扩展资料：

线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

参考资料：线性微分方程-百度百科

Answer 2

你好！答案如图所示：

非齐次的通解=齐次通解+非齐次特解

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