Question

设A=（3 0 0,0 2 1,0 1 2），求正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，并求矩阵B使得A=B2

Answer 1

A=

3    0    0    

0    2    1    

0    1    2    

|λI-A| = 

λ-3    0    0    

0    λ-2    -1    

0    -1    λ-2    

 = (λ-3)[(λ-2)(λ-2)-1] =(λ-3)(λ-3)(λ-1) = 0
解得λ=3(两重),1

使得

QTAQ=diag(3,3,1)

则A=Qdiag(3,3,1)QT

=Qdiag(√3,√3,1) diag(√3,√3,1) QT

=Qdiag(√3,√3,1) QTQ diag(√3,√3,1) QT

=(Qdiag(√3,√3,1) QT)^2

因此，令B=Qdiag(√3,√3,1) QT，即符合题意：

B=