谱论的谱分解定理
设h是复希尔伯特空间,N是h上正常算子。则必存在定义在复平面C(视为R2)所有波莱尔集上谱测度E，使得。如果σ(N)是N 的谱集,则E的支集就是σ(N)，即。 正常算子的谱分解定理实际上是 n维复线性空间上正常矩阵对角化理论
在无限维复希尔伯特空间上的推广。它 刻画了正常算子的结构，许多正常算子的重要性质可由它导出，例如①λ∈σ(N)的充要条件是对任何λ的邻域O，E(O)≠0；②λ是N 的特征值的充要条件是单点集{λ}的谱测度E({λ})≠0;③λ是N的正则点的充要条件是存在λ的邻域①，使得E(O)=0；当λ0是N的正则点时，；④h上有界线性算子 A和N可交换的充要条件是对任何M∈B，AE(M)=E(M)A等。 对于特殊的正常算子，例如对酉算子U，必存在【0，2π]上谱系（即是定义在[0，2π]上单调增加右连续，并且E0=0，E2π=I 的投影算子值函数），使得；而对自共轭算子A,必存在定义在R1上谱系Eλ,使得。 若希尔伯特空间h上自共轭算子A满足σp(A)=σ(A)（即A的谱都是特征值）。那么必有特征展开式，式中{ev}是h的完备就范正交系,并且ev是相应于特征值λv的特征向量。特征展开式（离散和的形式）比谱分解式（连续和的形式）更为简便。在吸收了广义函数论方法的基础上，引出了一般自共轭算子的广义特征分解的概念。 设l2(Rn)是 n维欧几里得空间Rn上关于勒贝格测度平方可积函数全体所成的希尔伯特空间。A是L2(Rn)上的自共轭算子，定义域D(A)包含基本函数空间K(见广义函数)，而且是K到K中的连续线性算子。又设当φ∈D(A)时
,必有,而且。A在K的共轭空间K┡上的共轭算子A┡定义为：(A┡ψ,φ)=(ψ,Aφ)。如果对实数λ,有F∈K┡,F≠0，使A┡F=λF，就称λ是A的广义特征值,F是相应的广义特征向量。当F∈D(A)时,广义特征值和广义特征向量就是通常的特征值和特征向量。
如果存在A的特征值系{λv}和相应的就范正交特征向量系{ƒv}以及存在实直线上波莱尔集系{Bn},Bn中每点λ为A的广义特征值，相应的广义特征向量为ƒλ,使得对任何φ，ψ∈K，(ƒλ, φ)是 Bn上波莱尔可测函数，且。那么就称组成了A的完备就范正交广义特征向量系。这时有如下的广义特征展开：
,
。
作为例子：如果A是l2(R 1)中乘法算子：(Aƒ)(x)=xƒ(x),显然A在l2(R 1)中没有特征向量。而广义函数族{δ(x-λ)|λ∈(-∞,∞)}却构成了A的完备就范正交广义特征向量系。对一般的希尔伯
特空间中自共轭算子,也有类似的广义特征分解。
简言之，所谓广义特征展开，实质上就是原来在希尔伯特空间上不是特征值的那些谱点，在适当扩大了的空间（相当于广义函数空间）上变成了特征值，并找到相应的（广义）特征向量和展开式。
