Question

高三数列题 求解

Answer 1

本题用累加法比较麻烦。

解法一：不用累加法
a(n+1)=an +1/(n²+n)=an +1/[n(n+1)]=an +1/n -1/(n+1)
a(n+1) +1/(n+1)=an +1/n
a1 +1/1=a1+1
数列{an +1/n}是各项均等于a1+1的常数数列
an +1/n=a1 +1
an=a1+1 -1/n=a1+ (n-1)/n
数列{an}的通项公式为an=a1+ (n-1)/n

解法二：累加法
a(n+1)=an +1/(n²+n)=an +1/n -1/(n+1)
a(n+1)-an=1/n -1/(n+1)
an-a(n-1)=1/(n-1) -1/n
a(n-1)-a(n-2)=1/(n-2)- 1/(n-1)
…………
a2-a1=1/1 -1/2
累加
an-a1=1/1 -1/2 +1/2 -1/3 +...+ 1/(n-1) -1/n=1- 1/n=(n-1)/n
an=a1 +(n-1)/n
数列{an}的通项公式为an=a1+ (n-1)/n