Question

用微积分做数列题

如何用求导与积分来做数列题，如数列求和？举例说明下......
那举几个例子看看

Answer 1

y(t)=∑ (n=0,∞)an t^n
求导y'(t)= ∑ (n=1,∞)n*an *t^(n-1)
=∑ (n=0,∞)(n+1)*a(n+1) *t^(n-1+1)
=∑ (n=0,∞)(n+1)*a(n+1) *t^n

广义积分(improper integral)
考虑减函数 f(x)≥0 for x≥1
f(n+1) ≤∫(n,n+1) f(x)dx≤f(n)
设数列 x_n=f(n)
x_(n+1)≤∫(n,n+1) f(x)dx≤x_n
x_2+x_3+...x_(N+1)≤∫(1,N+1) f(x)dx≤x_1+x_2+x_3+...x_N
{∑(1,(N+1))x_i}-x_1≤∫(1,N+1)f(x)dx≤{∑(1,(N))x_i}
∫(1,N+1)f(x)dx ≤{∑(1,(N))x_i}≤ x_1+ ∫(1,N)f(x)dx
广义积分收敛 if and only if 数列和 ∑(1,(N))x_i}收敛

举几个例:
∑(1,∞)(1/n^2)}≤ 1/1+ ∫(1,∞)(1/x^2)dx=2

傅立叶级数
f(x)=a0+∑(n=1,∞)(an*cos(nx)+bn*sin(nx) )
an=(1/п)∫(-п,п) f(x)cos(nx)dx
bn=(1/п)∫(-п,п) f(x)sin(nx)dx
泰勒级数
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...
+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+... (f^(n)(a)= 求导n次)

Answer 2

说的话很难说清楚啊。
一般是利用定积分的定义来求 要求这个数列也要是特殊的形式 而且一般是求极限的问题 比如n->无穷 在数列中提出1/n 然后化成一个函数的定积分

我写个题目吧
lim （1/n^2） *(sqrt(n)+sqrt(2n)+...+sqrt(n^2))
n->∞
不知道能不能看懂 sqrt是根号的意思
上面这个式子其实就等于∫sqrt(x)dx 0到1积分
因为数列是离散的而积分是连续的 所以只能是在求极限的情况下吧我认为

Answer 3

基本是数列和极限的和起来的 单调有界收敛准则 夹逼定理

Answer 4

此题很有意思。特举一例说明一下：
已知：1+q+q^2+……+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)
将两边取q的导数，就得到新的数列求和公式：
0+1+2q+3q^2+……+(n-1)q^(n-2)=[(1-q^n)-n(1-q)q^(n-1)]/(1-q)^2

Answer 5

利率(%) 5.31 5.40 5.76 5.94

提问者： 匿名

Answer 6

比如