Question

求二维连续型随机变量的概率密度，这道题为什么还要在1处进行分段？谢谢

Answer 1

这是由于在Z<1和Z>1时的积分区域的显著不同造成的。注意仔细观察图片里面的积分区域。

当Z<=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的小三角形，实际上一个区域是由X=0,Y=0以及X+Y=Z围成的。很容易就可求得其面积。

而当Z>=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的部分，这个区域不再是三角形而是一个由5边形围成的区域。从解法上看，要求这个区域的面积，我们可以用矩形的面积-右上角小三角形的面积。

追问

但我画的积分区域错了，而且我不知道这个是怎么画出来的，能解释一下吗？

追答

我并没有你看到你画的积分区域。我指的是例题中的那个积分区域。用直线X+Y=Z与矩形相交形成的区域，当Z1时明显不一样。

追问

那能解释一下例题中的积分区域是怎么画出来的吗

追答

首先概率密度函数的取值范围是{0<=x<=1,0<=y<=1}，这即是说被积函数f(x,y)只在区域{0<=x<=1,0<=y<=1}有值，在其它处的值为0。要计算∫ [X+Y<=Z]f(x,y)dxdy的积分，我们需要看区域{X+Y<=Z}与{0<=x<=1,0<=y<=1}的交集。从图像上来看，这即是直线X＋Y＝Z与矩形{0<=x<=1,0<=y<=1}相交的右侧的部分。当　Z＜＝1时，这部分是个三角形区域，当Z＞＝1时，这部分是个5边形围成的区域。

Answer 2

图片真清楚。
显然 X+Y=1是分界线，在矩形区域中点的概率密度才非0，所以其它不用关心，X+Y=1正好是上述矩形区域的对角线，在这条直线左边（X+Y<1）的和右边（X+Y>1）的在计算上明显不同，就如例题中的求解。