Question

求函数y=e^x-e^-x/2的反函数

Answer 1

y=e^x，y=-e^-x均为增函数，所以之和的二分之一（即原函数）也为增函数。

f(x)=[e^x-e^(-x)]/2=[e^(2x)-1]/(2*e^x)

f(-x)=[e^(-2x)-1]/[2*e^(-x)]=[1-e^(2x)]/(2*e^x)

f(x)=-f(-x)

故为奇函数。

事实上f(x)=sh(x) 即双曲正弦函数，该函数在实数域上为增函，且为奇函数。

如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

扩展资料：

如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线必对所有实数k，通过且只通过一次。

大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

参考资料来源：百度百科——反函数

Answer 2

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。

（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

第二项是 -e^(-x/2) 还是 -(e^(-x))/2?