考研，线性代数，弄不清的别来
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假设存在x使A^(n+1)x=0且A^nx!=0。
令一组数k_0...k_n使
k_0x+k_1Ax+k_2A^2x+...+k_nA^nx=0
乘A^n
k_0A^nx+k_1A^(n+1)x+k_2AA^(n+1)x+k_3A^2A^(n+1)x+...+k_nA^(n-1)A^(n+1)x=0
除了第一项以外其他都是0。
k_0A^nx=0
又因为A^nx!=0，所以k_0=0
然后代入第一个式子
k_1Ax+k_2A^2x+...+k_nA^nx=0
乘A^(n-1)，得到k_1=0
继续这样做，k_2=k_3=...=k_n=0。
所以说x, Ax, A^2x, ..., A^nx线性无关，但是这是(n+1)个n维向量，必然线性相关，矛盾
令一组数k_0...k_n使
k_0x+k_1Ax+k_2A^2x+...+k_nA^nx=0
乘A^n
k_0A^nx+k_1A^(n+1)x+k_2AA^(n+1)x+k_3A^2A^(n+1)x+...+k_nA^(n-1)A^(n+1)x=0
除了第一项以外其他都是0。
k_0A^nx=0
又因为A^nx!=0，所以k_0=0
然后代入第一个式子
k_1Ax+k_2A^2x+...+k_nA^nx=0
乘A^(n-1)，得到k_1=0
继续这样做，k_2=k_3=...=k_n=0。
所以说x, Ax, A^2x, ..., A^nx线性无关，但是这是(n+1)个n维向量，必然线性相关，矛盾
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能用自己的话稍微叙述一下吗，你这个和我的答案解析一模一样
好吧，我在自己想想
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