Question

n阶矩阵一定有n个特征值吗？为什么？

Answer 1

n阶矩阵一定有n个特征值。因为特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。

更加详细的说法为：一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。

扩展资料：

特征多项式：

对布于  上的  矩阵  ，特征多项式为。这是一个n次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，就可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程。

称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

这是一个n次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程。

故称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

参考资料：百度百科- 特征多项式

参考资料：百度百科-矩阵（数学术语）

Answer 2

特征值是特征多项式的根，n阶方阵的特征多项式是个n次多项式，根据代数基本定理，n次多项式有且只有n个根（重根按重数计算），这些根可能是实数，也可能是复数。

Answer 3

n阶矩阵有n个特征值（包括重根）。证明：因为矩阵A的特征值就是其特征方程|A-λI|=0的根（I是E的另一种写法）,其中λ的最高次数是n。由代数基本定理知道n次多项式最多有n个不同的根，若把相同的根也计数，就有且仅有n个根了,所以特征值一定有n个（计重数）。证毕

Answer 4

引用robin_2006的回答：
特征值是特征多项式的根，n阶方阵的特征多项式是个n次多项式，根据代数基本定理，n次多项式有且只有n个根（重根按重数计算），这些根可能是实数，也可能是复数。

实数的对立面是虚数。

Answer 5

[最佳答案] 特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。