Question

t^3x'''-t^2x''+2tx'-2x=t^3+3t用欧拉方程求解

t^3x'''-t^2x''+2tx'-2x=t^3+3t用欧拉方程求解

Answer 1

依样画葫芦。首先看看欧拉方程及其求解特点：

图片来自：

https://wenku.baidu.com/view/b4e139d026fff705cc170ac1.html

设

那么原方程化为

对应的齐次方程为

求得特征方程的根为x1=2，x2=x3=1.（在线计算或者试探法，也可用三次方程求根公式等等）

因此解出齐次方程的基础解系为

下面参考一下对应的非齐次项的求解算法，因为非齐次项是两个指数函数之和，参照下图：

因为变换后的非齐次方程有两个指数项，可以利用叠加原理，将其分成两部分，分别求出它们的一组特解，两者之和即为变换之后的齐次方程的一个特解.【如需详细过程请追问】

那么原来的微分方程的通解为