Question

高手们帮帮忙吧！一道很难的数学题

圆O是四边形ABCD的外接圆，延长AB，CD交于点Q；延长AD，BC交于点P。PE是圆O的切线，E是圆的切点。连接QE，PO。
求证：QE垂直于PO

Answer 1

题目应该是AB，DC交于点Q吧。
证明：连结OE，OQ，PQ，过Q任作⊙O的一条切线，切点为G，连结OG，在PQ上找一点F，使B，C，Q，F四点共圆，连结CF
因为B，C，Q，F四点共圆，所以∠PFC=∠PBQ，而∠PBQ=∠ADQ，所以∠PFC=∠ADQ，所以P，F，C，D四点共圆
PE²=PC·PB，而PC·PB=PF·PQ，所以PE²=PF·PQ，所以PQ²-PE²=PQ²-PF·PQ=PQ(PQ-PF)=QF·QP，又QF·QP=QC·QD，QC·QD=QG²，所以PQ²-PE²=QG²。又因为QG是切线，所以OG⊥QG，所以QG²=QO²-OG²=QO²-OE²，综上所述，PQ²-PE²=QO²-OE²
所以 (向量PQ)²-(向量PE)²=(向量QO)²-(向量OE)²，即 (向量PQ+向量PE)·(向量PQ-向量PE)=(向量QO+向量OE)·(向量QO-向量OE)，即 (向量PQ+向量PE)·向量EQ=向量QE·(向量QO-向量OE)，移项得 向量EQ·(向量PQ+向量PE+向量QO-向量OE)=0，向量EQ·(2向量PO)=0，所以EQ⊥PO
事实上，由PQ²-PE²=QO²-OE²可以直接推出EQ⊥PO，这是一条定理，只是名称我忘了。