Question

平行四边形ABCD的顶点A的直线BD交于P 交CD于Q 并交BC的延长线于R

rt求证PQ:QR=PD^2:PB^2
lx 你要觉得我的结论错误你还答个啥?别人刚给我讲过 没用辅助线
为网友提供帮助:△APD∽△RPB △APB∽△QPD ∴PD:PB=AP:PR PD:PB=PQ:AP 两式相乘得PQ:QR=PD^2:PB^2

Answer 1

我怎么觉得你的结论是错误的啊

从P作AB的平行线，交BC于E，设BE=a，EC=b，CR=c。（纯是为了方便书写）

显然有△RPE∽△RAB，△BPE∽△BDC。

于是PE/AB=(b+c)/(a+b+c)，PE/DC=a/(a+b)。又AB=DC，所以(b+c)/(a+b+c)=a/(a+b)，化简得a²=b(b+c)，即b/(b+c)=b²/a²

而b/a=PD/PB，b/(b+c)=PQ/PR

于是PQ:QR=PD²:PB²

Answer 2

可以用辅助线，这道题有好几种。如 通过P点作一直线平行于AB，交AD于G，交BC于F。三角形APD相似于BPR, BPF相似于BDC, APG相似于AQD.
有PQ:AP=DG:AG=CF:BF=(CB-BF):BF=(CB:BF)-1=(BD:BP)-1=(BD-BP):BP=PD:BP=AP:PR
=>AP*AP=PQ*PR
=>AP^2/PR^2=PQ/PR
也可以是
因为AD//BC 所以PD/PB=PA/PR PA=PD*PR/PB
又因为AB//CD所以PD/PB=PQ/PA
所以PA/PR=PQ/PA PA^2=PQ*PR=PD^2*PR^2/PB^2
所以PQ=PD^2*PR/PB^2
所以PQ/PR=(PD/PB)^2