Question

f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ).

Answer 1

这个命题有[反例]啊，比如：

f(x) = x^2，g(x) = x，[a, b] = [1, 2]，此时：

f'(x)g(x) = 2x^2

f(x)g'(x) = x^2

当 1<x<2 时，无论如何 2x^2 也不等于 x^2，

因此也就不存在 ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ)

( 这道题应该还有附加的限制条件，题主考虑补充下问题？ )

追问

但是，原题就是这样的啊

追答

那原题确实存在疏漏，因为这个反例确实是确凿的。。

追问

这个是书上的原题。。。不知道是不是我理解有误

追答

嗯，确实很奇怪啊。。。在这些练习题之前还有没有先设条件？
对了，针对这些习题，你学的是哪部分知识啊？
而且你觉得那个反例成立吗？只要你觉得反例存在，那就相信自己～

追问

我是自学的，刚看到微分中值定理，我觉得你的反例倒是没什么问题，本来想试试用拉格朗日中值定理做，但是卡住了。