Question

矩阵论：设A，B属于复数域内n*n矩阵。A的特征值为a1,a2...an，B的特征值为b1,b2...bn。

矩阵论：设A，B属于复数域内n*n矩阵。A的特征值为a1,a2...an，B的特征值为b1,b2...bn。如果AB=BA，求证：A+B的特征值为a1+b1,a2+b2...an+bn

Answer 1

A和B都可对角化，而且AB=BA，那么A和B可同时对角化。
所以存在可逆矩阵P，使得：
P^{-1}AP=diag(a1,a2,...,an)， P^{-1}BP=diag(b1,b2,...,bn)
所以：
P^{-1}(A+B)P=diag(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)
也就是说，A+B的特征值是a1+b1,a2+b2,....,an+bn