Question

如何求出有阻尼系统的固有频率及相应振型矩阵

Answer 1

那其实就是Mx``+Nx`+Kx=0，其中M是质量项，N是阻尼项，K是回复力系数，也就是系统的刚度系数项。

然后就是解这个二阶常系数微分方程。

同时除以M，则x``+(N/M)x`+(K/M)x=0

设δ=N/2M（阻尼系数），w=√(K/M)（固有频率）

则x``+2δx`+w²x=0

解得x=Ae^(-δt)cos(wt+Θ)（这个也就是阵型方程）

不同系统对应不同频率，将不同频率对应的位移值放在一起，就成了振型矩阵。

Answer 2

模态和振型是两个比较难懂的概念，涉及的理论比较多，我想通过一句话引出，然后通过逐步解释的方法去阐释这两个概念。

以一根梁为例，通过理论计算寻找其固有频率、阻尼比、振型的过程就是解析模态分析，通过实验得到的就是实验模态分析。振型其实就是坐标变换，代表了多自由度系统向单自由度系统过渡的形式。

首先认定一个前提，即多自由度系统同单自由度系统一样，在自由振动时以某一固有频率振动，不同点在于单自由度系统只有一个固有频率，而多自由系统存在多个固有频率，在这个前提下寻找一种方法，将自由振动分解为若干个简谐振动的叠加。其动力学方程为

其中，{ } 代表向量，

和x(t) 分别代表各自由度的加速度和位移向 (n*1)，现在要找到一种运动，使系统的各个坐标以同一种规律运动，但幅值可以不同，也就是各个坐标上的点同时达到运动行程的最大点，也同时过零点。

先给出结论：每个自由度的时域响应是由不同振动频率的简谐运动叠加而成，例如

推导过程为：可以假设出下式，f(t) 是运动规律的时间的函数，代表了运动的形状，前面的列向量为常数向量

带入到动力学方程并左乘𝜙T ，得到

由理论已知（本文没讲），M 正定，K 正定或半正定，对上式变形得（这里人为令λ 等于ω的平方是为了后面便于计算）

对于非零列向量𝜙：

则由

对于正定系统 (ω>0)，只可能出现形如X(t) =𝜙*a*sin(ωt+φ) 的同步运动，即系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
对于半正定系统 (ω≥0)，可能出现形如X(t) =𝜙*a*sin(ωt+φ) 的同步运动，也可能出现形如f(t)=𝜙*(a*t+b)（此时不发生弹性变形 ）。
本文只讨论正定系统的振动情况。

由以上推导已知，正定系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位做幅值不定的简谐运动，将X(t)=𝜙*a*sin(ωt+φ) 中的𝜙*a 合写为𝜙，并将X(t) 代入动力学方程，化简后可得系统的特征值方程：

根据线性代数中的克莱姆法则，由N 个方程构成的N 元齐次线性方程组的系数行列式不为零时，齐次方程组只有零解（平凡解）。所以如果特征值方程具有非零解（非平凡解），那么系数矩阵的行列式必须为零。

到这一步就能看出，特征方程中的特征值是同步运动频率的平方，而特征向量就是振型，体现了某阶频率下，系统在各个坐标上产生的某种固定规律的运动形态。继续将行列式写为以下形式

行列式展开后得到特征多项式

解出n 个值，并按升序排列

其中，ωn 为第n 阶固有频率，ω1 为基频。

以上推导说明固有频率仅取决于系统本身的刚度和质量，且n 自由度系统可以求出n 个特征根，也就是n 个固有频率。

不难发现，将不同的特征根代入，解出的特征向量是不同的，特征根与特征向量一一对应，即