Question

多重复合函数求导，如图，第9题

Answer 1

ln(1+x+√(2x+x²))
其实可以直接求，但我还是分步来求。
设1+x+√(2x+x²)=u(x)
那么原式求导
=u'(x)*1/u(x)
设√(2x+x²)=v(x)
u(x)=1+x+v(x)
u'(x)=1+v'(x)
设(2x+x²)=p(x)
v(x)=(p(x))^1/2
v'(x)=p'(x)*(1/2)*p(x)^(-1/2)
p'(x)=2+2x
接下来就是往回带
v'(x)=(2+2x)*(1/2)*(2x+x²)^(-1/2)
=(1+x)/√(2x+x²)
u'(x)=1+(1+x)/√(2x+x²)
u(x)=1+x+√(2x+x²)
原式求导=
[1+(1+x)/√(2x+x²)]/[1+x+√(2x+x²)]
=1/√(2x+x²)
如果直接求导，过程如下
y=ln[x+1+√(2x+x^2)]
y'=[1+(2+2x)/2√(2x+x^2)]/[x+1+√(2x+x^2)]
=[1+(1+x)/√(2x+x^2)]/[x+1+√(2x+x^2)]
={[√(2x+x^2)+(1+x)]/√(2x+x^2)]}/[x+1+√(2x+x^2)]
=1/√(2x+x^2)
两者的本质是一样的。