Question

已知函数f（x）=4x^3+3tx^2-6tx+t-1,x属于R,其中t属于R.

已知函数f（x）=4x^3+3tx^2-6tx+t-1,x属于R,其中t属于R.曲线y=fx在点（0，f0）处的切线平行于直线y=_6x+5，求t的值

Answer 1

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Answer 2

f(x)=x³-[3(t+1)/2]x²+3tx+1t>0f'(x)=3x²-(3t+3)x+3t=3[x²-(t+1)x+1]=3[(x-(t+1)/2)²+1-(t+1)²/4]当(t+1)²≤4→01时：驻点：x₁=[(t+1)-√(t²+2t-3)]/2x₂=[(t+1)+√(t²+2t-3)]/2根据二次函数的图像判断，a>0开口向上左零点左侧+，右侧-，右零点左侧-，右侧+∴x∈(-∞,x₁)f(x)单调递增x∈(x₁,x₂)f(x)单调递减x∈(x₂,+∞)f(x)单调递增(2)令g(x)=xe^x-m-x³+[3(t+1)/2]x²-3tx-1g'(x)=e^x+xe^x-3x²+(3t+3)x-3tg''(x)=2e^x+xe^x-6x+(3t+3)令h(x)=2e^x-6x+3h'(x)=2e^x-6驻点x=ln3极小值h(ln3)=9-6ln3>0∵x>0时，xe^x>03t+3>3∴g''(x)>h(x)>0g'(x)单调递增x>0g'(x)>g'(0)=1-3t当t≥1/3时，g(x)单调递增g(x)>g(0)=-m-1，m的最大值=-1g(x)≥0恒成立∴t≥1/3

Answer 3

对函数f(x)求导得导函数g(x)=12x^2+6tx-6t
对判别式Δ＞,=,＜0三种情况分类讨论
当g(x)＞0时,所求得的区间为递增区间
当g(x)＜0时,所求得的区间为递减区间
(2)证：利用前面分析出的单调区间,大致作出函数图像,由图像一目了然可以证得此结论.

Answer 4

f'（x）=12x^2+6tx-6t
f'（0）=-6t
依题意：f'（0）=-6t=-6
t=1