Question

求一阶线性微分方程的通解，没有看懂答案

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Answer 1

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Answer 2

求微分方程 ylnydx+(x-lny)dy=0的通解
解：P=ylny；Q=x-lny；∂P/∂y=1+lny；∂Q/∂x=1；
由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/ylny)(lny)=1/y=H(y);
∴有积分因子μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(1/y)dy]=e^(-lny)=1/y.
用积分因子μ=1/y乘原方程的两边得：lnydx+[(x-lny)/y]dy=0..........①
此时P=lny；Q=(x-lny)/y；∂P/∂y=1/y=∂Q/∂x，故①是全微分方程。
于是通解u(x，y)=∫【0,x】lnydx-∫【0,y】[(lny)/y]dy=xlny-(1/2)ln²y=C;
即原方程的通解为：u(x,y)=xlny-(1/2)ln²y=C
事实上，du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=lnydx+[(x/y)-(lny)/y]dy
=lnydx+[(x-lny)/y]dy=0就是①式。
将①的两边同乘以y，即得：ylnydx+(x-lny)dy=0，这就是原方程。