Question

A={x|x²-6x+8<0},B={x|x²-2mx-m+12<0}

①若A∪B＝B，求m的取值范围②若A∩B＝B,求m的取值范围

Answer 1

A={x|x^2-6x+8<0} = { x| (x-2)(x-4)<0 } = { x| 2<x<4 }

B={x|x^2-2mx-m+12<0} 

A∩B＝B

△ = (-2m)^2 -4(-m+12) = 4m^2+4m-48 = 4(m^2+m-12)

case 1: B=Φ  , ie △<0

4m^2+4m-48<0

m^2+m-12<0

(m+4)(m-3)<0

-4<m<3

case 2: △=0

m^2+m-12=0

(m+4)(m-3) =0

m=-4 or 3

m=-4:

B={x|x^2-2mx-m+12<0} ={ x| x^2+8x+16<0 } = { x| (x+4)^2 < 0 } ⊂ A

m=3 :

B={x|x^2-2mx-m+12<0} ={ x| x^2-6x+9<0 } = { x| (x-3)^2 < 0 } ⊂ A

case 3: △>0

B={x|x^2-2mx-m+12<0} 

= { x|  m-√(m^2+m-12) <x< m+√(m^2+m-12) 

B⊂ A

=>

2<m-√(m^2+m-12)  and 4>m+√(m^2+m-12) 

√(m^2+m-12) > m-2  and  √(m^2+m-12)  < 4-m

(m^2+m-12) > (m-2)^2  and  (m^2+m-12)  < (4-m)^2

6m > -140  and  10m< -128

m > -70/3  and  m< -64/5

-70/3<m< -64/5

A∩B＝B

=>

case 1 or case 2 or case 3

-4≤m≤3  or  -70/3<m< -64/5

Answer 2

A={2<X<4}
B={X^2-2mx-m+12<0}
1)X^2-2mx-m+12<0,其判断式K必定是大于0.即
K=（-2m）^2-4*(12-m)>0,解出-4>m或m>3
又A并B=B,那么设X^2-2mx-m+12=0的两个根为x1，x2
x1=(2m+k^0.5)/2,
x2=(2m-k^0.5)/2
必定有x1>=4,且X2<=2,或x1<=2,X2>=4
1)将k=（-2m）^2-4*(12-m)，带入得到：
m+（m^2+m-12）^0.5>=4
m-（m^2+m-12）^0.5<=2
解出m>28/9,且m>=16/5,
所以m>16/5
2)
m+（m^2+m-12）^0.5<=2
m-（m^2+m-12）^0.5>=4
无解。
所以m的取值范围是m>16/5
第二问：
如果A交B=B
那么分几种情况讨论：
1) B为空集，由一元二次方程的判定式k应该小于等于0
即k=（-2m）^2-4*(12-m)<=0
解出-4<=m<=3
2)B不是空集
又A交B=B,k=（-2m）^2-4*(12-m)>0
解出m>3或m<-4
那么设X^2-2mx-m+12=0的两个根为x1，x2
x1=(2m+k^0.5)/2,
x2=(2m-k^0.5)/2
必定有x1<=4,且X2>=2,或x1>=2,X2<=4
得到：
a） m+（m^2+m-12）^0.5<=4
m-（m^2+m-12）^0.5>=2
解出m<=28/9
2<=m<=16/5
所以3<m<=28/9
b） m+（m^2+m-12）^0.5>=2
m-（m^2+m-12）^0.5<=4
解出m>3
m<=28/9
所以3<m<=28/9
综合上述，可得：
-4<=m<=28/9