Question

如何证明n的n次方根的极限为1

如何证明n的n次方根的极限为1越详细越好

Answer 1

先取对数ln，证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0

lim( ln( n^(1/n) ) )  = lim( [ln(n)] / n ) = lim ( [1/n] / 1 ) 分子分母同时取导数 = lim (1/n) = 0  所以：

lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1

扩展资料：

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

Answer 2

另有夹逼定理证明如下

Answer 3

要证明对于任意正整数 n（n ≥ 2），n 的 n 次方根的极限为 1，我们可以使用数列极限的定义和数学归纳法来进行证明。
步骤如下：
第一步：设定要证明的数列。我们可以定义一个数列 an = n^(1/n)，其中 n 是一个自然数。
第二步：证明数列 an 是递减的。我们可以观察到，当 n 增大时，分子 n 的 n 次方增长较快，而分母 n 的增长相对较慢。因此，对于任意 n ≥ 2，我们有 n^(1/n) < (2^n)^(1/n) = 2. 根据数学归纳法的原理，我们可以证明在 n ≥ 2 的范围内，对于任意的 m > n ≥ 2，有 am > an。因此，数列 an 是递减的。
第三步：证明数列 an 有下界。我们知道 an > 0，因为 n 是正整数。另外，我们可以使用不等式 2^n > n，其中 n ≥ 2（这个不等式可以通过数学归纳法证明）。结合这个不等式，我们可以得出结论：an = n^(1/n) > 2^(1/n) > 1. 因此，数列 an 有下界 1。
第四步：应用单调有界原理。根据单调有界原理，一个递减有下界的数列必定存在极限。这意味着数列 an 的极限存在。
第五步：确定极限值。假设数列 an 的极限为 L，那么我们有以下等式：L = lim (n∞) (n^(1/n)). 我们将等式两边取 n 的自然对数，可以得到 ln(L) = lim (n∞) (ln(n) / n). 注意到当 n 达到无穷大时，ln(n) 的增长速度小于 n 的增长速度。因此，右侧的极限可以视为形如 0/∞ 的形式。应用洛必达法则，我们可以得到 ln(L) = lim (n∞) (1/n) = 0. 这意味着 ln(L) = 0，即 L = e^0 = 1。因此，数列 an 的极限为 1。
因此，我们证明了对于任意正整数 n（n ≥ 2），n 的 n 次方根的极限为 1。

Answer 4

要证明该极限，首先我们要明确我们正在什么情况下讨论极限。当n趋于正无穷大时，我们证明n的n次方根的极限为1。所以我们要证明的是：

lim (n^(1/n)) = 1，当n->∞

为了确实取得这个结论，我们可以将原式进行对数变换:

取对数后，原式子变为：

lim (1/n)*log(n)，当n->∞

现在接着用ℓ'Hôpital's rule，这是一个在处理0/0或者∞/∞的极限形式的法则，该法则告诉我们可以通过对分母和分子求导来找出这个极限。

求导后得到：

lim （(log(n)'/(1/n)')，当n->∞

即为

lim (1/n/(-1/n^2))，当n->∞

这个极限非常直接，因为它变成：

lim (-n)，当n->∞

这个结果为0。

因此，我们得出结论：在n追踪到正无穷大时，lim (n^(1/n)) = 1。这是通过对数变换和ℓ'Hôpital's rule得出的结果。

Answer 5

你可以假设1+a＞n的根号n次方根.然后同为正数,等价于（1+a）n次方大于n.建立方程f（x）=（1+a）x次方,g（x）=x,因为x=0时,f（x）＞g（x）,然后求导数,x乘以（1 +a）（x-1次方）大于1.所以,f（x） ＞g（x）恒成立.所...