应用柯西中值定理证明
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构造函数G(x)=f(x)-(x^3)[f(1)-f(0)]
G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)
G(0)=f(0)-0=f(0)
由柯西中值定理知
存在一点ξ 使得G'(ξ )=0
G'(x )=f'(x )-3x^2[f(1)-f(0)]
G'(ξ )=f'(ξ )-3ξ^2[f(1)-f(0)]=0
即存在点ξ 使得f'(ξ )=3ξ^2[f(1)-f(0)]
G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)
G(0)=f(0)-0=f(0)
由柯西中值定理知
存在一点ξ 使得G'(ξ )=0
G'(x )=f'(x )-3x^2[f(1)-f(0)]
G'(ξ )=f'(ξ )-3ξ^2[f(1)-f(0)]=0
即存在点ξ 使得f'(ξ )=3ξ^2[f(1)-f(0)]
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