Question

如何把数列的分式结构的递推公式转化为通项公式

Answer 1

两者原则上应该是等价的，知道一个就可以确定另一个。但是实际操作往往不是这样。
知道通项公式求递推公式特简单。知道S[n]等于n的一个式子，然后我当然可以把式子里面所有n换成n-1就得到S[n-1]，S[n]是前n项和，S[n-1]是前n-1项和。那么a[n]就是S[n]-S[n-1]，直接就算出来了。
知道递推关系求通项不是很容易，有的相当难。我只说几种简单的。
①等差、等比数列，这些书上都有，自己看书就可以了。
②累加法，就是比等差数列稍微差一点的情况，a[n]-a[n-1]不是一个常数，而是n的一个式子，比如说就是n。这时候写成
a[n]-a[1]=(a[n]-a[n-1])+(a[n-1]-a[n-2])+(a[n-2]-...-a[2])+(a[2]-a[1])
=n+(n-1)+(n-2)+...+2=n(n+1)/2 -1
然后移向就得到a[n]=a[1]+n(n+1)/2 -1
③累乘法，与上面类似，和等比数列差一点，就是a[n]/a[n-1]是n的一个式子不是常数，这时候也可以仿照上面做法a[n]=a[n]/a[n-1]×a[n-1]/a[n-2]×...×a[2]/a[1]×a[1]然后做。
④待定系数法。这个也是和等比数列差一点，就是做了平移变换以后就是等比数列的情况。比如
a[n]=2a[n-1]+1，这个可以设一个系数λ，使得移动λ以后是等比数列，你看a[n]=2a[n-1]+1移动以后公比一定是2，于是设a[n]+λ=2(a[n-1]+λ)，打开括号移项得到a[n]=2a[n-1]+λ，比较原来的式子
a[n]=2a[n-1]+1得到λ=1，于是设新的数列b[n]=a[n]+1，于是b[n]是等比数列。
当然这种还可以转化，在a[n]=2a[n-1]+1两边除以2的n次方（写成2^n)得到
a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^n让新的数列b[n]=a[n]/2^n就转化成了上面累加法那种情况。

难一点的还有特征方程法、不动点法（很少见，用于线性分式类型的递推关系，我也记不太清具体的了）。特征方程法网上有，可以看看。