Question

根号下x/1-x的原函数

Answer 1

求解过程如下：

令x=sin²t，那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost。

所以：

原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt

=∫2sin²tdt

=∫(1-cos2t)dt

=t-1/2*sin2t+C

而sint=√x，所以t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)

所以原式=arcsin√x-√(x-x²)+C。

扩展资料：

1、原函数存在定理：

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

2、原函数几何意义：

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

参考资料来源：百度百科-原函数

Answer 2

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 3

求解过程如下：
令x=sin²t，那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost。
所以：
原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt
=∫2sin²tdt
=∫(1-cos2t)dt
=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x，所以t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
所以原式=arcsin√x-√(x-x²)+C。
扩展资料：
1、原函数存在定理：
若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。
2、原函数几何意义：
设f(x)在[a,b]上连续，则由
曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。
参考资料来源：搜狗百科-原函数

Answer 4

令x=sin²t，那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost
∴原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt=∫2sin²tdt=∫(1-cos2t)dt=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x，∴t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
∴原式=arcsin√x-√(x-x²)+C

Answer 5

∫√xdx=∫x^(1/2)dx=(2/3)x^(3/2)+C

一般地，∫x^mdx=1/(m+1)*x^(m+1)+C